16 August, 2021

Matematică de vacanță

16 August, 2021

    Sunt Dobrotă Daria , și am decis să vă prezint 2 probleme de matematică luate din caietul meu de vacanță, probleme care , mai demult , îmi dădeau mari bătăi de cap. Aceste probleme sunt asemănătoare , numai că rezolvarea diferă puțin.

  • Determinați cel mai mic număr natural care, împărțit pe rând la 15, 18 și 48, dă de fiecare dată restul 11 și câturi nenule.

       

REZOLVARE:

            Obs.  Vom folosi notația  “a^b” pentru a scrie “a la puterea b”.

Din Teorema împărțirii cu rest, avem:

a = b·q+r,  r<b                      unde a,b,q,r sunt numere naturale

Fie x- numărul pe care trebuie să-l aflăm.

x = 15d +11                                                              d,e,f-numere naturale

x = 18e +11

x = 48f +11

  Următorul pas este să eliminăm restul, adică îl vom scădea din deîmpărțit.

x-11 = 15d

x-11 = 18e

x-11 = 48f

   x-11 este un multiplu pentru cele trei numere și asta înseamnă că x-11  va fi cel mai mic multiplu comun al celor trei numere.

   Pentru început vom descompune numerele în factori primi:

              15 = 3 · 5                                       

              18 = 2 · 3^2

              48 = 2^4 · 3

              [15,18,48] = 2^4 · 3^2 · 5 = 720  (înmulțim toți factorii , cei comuni și cei necomuni, cei comuni scriși o singură dată, la puterea cea mai mare la care apar).

                x-11 = 720

           => x=720 + 11

                x= 731

  • Determinați cel mai mic număr natural care împărțit la numărul 24 dă restul 15, și împărțit la numărul 36 dă restul 27.

      REZOLVARE:

Din Teorema împărțirii cu rest, avem:

a = b·q+r,  r<b                                                         unde a,b,q,r sunt numere naturale.

            Fie x- numărul pe care trebuie să-l aflăm.

           x = 24d +15                                                                d,e–numere naturale

           x = 36e +27

     

        În ambele situații vom aduna ambii membrii cu 9, și imediat vom observa de ce.

   

        x+9 = 24d + 15 + 9 = 24d + 24

        x+9 = 36e + 27 + 9 = 36e + 36

  

        Iar acum vom da factor comun și vom avea :

       x+9 = 24(d+1)

       x+9 = 36(e+1)

     

        În acest moment vedem că x+9 este un multiplu pentru 24 și 36, ceea ce înseamnă că x+9 este cel mai mic multiplu comun al numerelor.

       Descompunem numerele în factori primi:

              24 = 2^3 · 3

              36 = 2^2 · 3^2

              [24, 36] = 2^3 · 3^2 = 8·9 = 72

      x+9=72

 => x=72-9

      x=63

Sper că v-am ajutat!